数学の実力を飛躍的に伸ばす鍵は、加法定理をベースにした関連公式の自力導出です。これにより、暗記にかける脳のリソースを大幅に節約できます。
まず、「2倍角の公式 導出」は加法定理の $\beta$ を $\alpha$ に置き換えるだけで完了します。
$\sin(\alpha + \alpha) = \sin\alpha\cos\alpha + \cos\alpha\sin\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$
同様に、$\cos(\alpha + \alpha) = \cos\alpha\cos\alpha - \sin\alpha\sin\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ となります。
相互関係 $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ を使えば、$2\cos^2\alpha - 1$ や $1 - 2\sin^2\alpha$ への変形も瞬時に完了します。
次に、「半角の公式 覚え方」は、先ほど導出した $\cos$ の2倍角の公式を逆算する思考法をとります。
$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta \iff \sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$
ここで $\theta = \frac{\alpha}{2}$ と置けば、$\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos\alpha}{2}$ が完成します。「サインは引く（$-$）、コサインは足す（$+$）」という特徴だけを掴んでおけば、導出と記憶の両面で死角がなくなります。
そして多くの受験生が恐れる「積和の公式 語呂合わせ」ですが、語呂で無理に覚えるよりも「加法定理の連立」で作る方が圧倒的に安全です。
$\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$
$\sin(\alpha-\beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$
この2式を足し合わせると、後ろの項が相殺されて $\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) = 2\sin\alpha\cos\beta$ となります。両辺を2で割れば、一瞬で積和の公式が導かれます。
