定期試験や大学入試で頻繁に出題されるのが、基本対称式である「和（$a+b$）」と「積（$ab$）」を用いて3次式の値を求めさせる問題です。ここで必須となるのが3乗の対称式変形公式です。
展開公式 $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ の中央2項を因数分解すると、$(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$ となります。これを $a^3+b^3$ について解くことで、以下の変形公式が得られます。
・$a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$
・$a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b)$
たとえば、「$x + \frac{1}{x} = 3$ のとき、$x^3 + \frac{1}{x^3}$ の値を求めよ」といった頻出問題では、積が $x \cdot \frac{1}{x} = 1$ と消える性質を利用し、$(x+\frac{1}{x})^3 - 3(x+\frac{1}{x}) = 3^3 - 3(3) = 27 - 9 = 18$ と瞬時に解答へ到達できます。展開公式から不要な部分を引くというイメージを焼き付けておくことが実戦力を高める鍵です。
